Учитывая, что векторы a и b ненулевые и их длины равны, мы можем записать их как:
a = (a1, a2, ... , an), b = (b1, b2, ... , bn)
где a1, a2, ... , an и b1, b2, ... , bn - любые скаляры.
Теперь нам также дано, что векторы p = (p1, p2, ... , pn), q = (q1, q2, ... , bn) ортогональны, где:
p1 = a1 + 3b1
p2 = a2 + 3b2
...
pn = an + 3 млрд.
q1 = 5a1 + 3b1
q2 = 5a2 + 3b2
...
qn = 5an + 3 млрд.
Следовательно, мы можем выразить точечное произведение p и q как:
p⋅q = (a1 + 3b1) ⋅ (5a1 + 3b1) + (a2 + 3b2) ⋅ (5a2 + 3b2) + ... + (an + 3bn) ⋅ (5an + 3bn) = 20a1^ 2 + 10b1^ 2 + 20a2^2 + 10b2^2 + ... + 20ан^2 + 10млрд^2
Теперь мы знаем, что p⋅q = 0, поскольку p и q ортогональны. Следовательно, мы имеем:
20a1^2 + 10b1^2 + 20a2^2 + 10b2^2 + ... + 20an^ 2 + 10bn^2 = 0
Разделив обе части на 10 и реорганизовав, мы получим:
a1 ^ 2 + b1 ^ 2 + a2^ 2 + b2 ^ 2 + ... + an ^ 2 + bn^ 2 = 0
Поскольку длины a и b равны, мы знаем, что a1 ^ 2 + b1 ^ 2 + a2 ^ 2 + b2 ^ 2 + ... + an ^ 2 + bn ^ 2 = (a1 + b1) ^ 2 + (a2 + b2) ^2 + ... + (an + bn)^2. Следовательно